En sevdiğim konulardan biri olan istatistiğe birkaç video ile güzel bir giriş yapmıştık hatırlarsınız. Biraz ara verdik ama aralarda döneceğimi söylemiştim. O gün geldi. Hem de istatistiğin en çılgın kullanım alanlarına, etkilediği hayatlara, insanlığı ne yönde etkileyebileceğine dair çok çarpıcı bir alan ile.
İstatistik ve Savaşlar…
İstatistik ve olasılık dediğimizde malum aklımıza hemen bilimsel araştırmalar ve iş dünyasında kullanılan analizler geliyor. Fakat istatistiğin aslında en hayati uygulamalarından biri de ülkelerin ayakta durabilmesini ve kimi zaman savaşlar kazanmasını sağlamasıdır. Şifreleri kırarak, batan gemileri bularak ya da hatta bir sonraki savaşın ne zaman patlak vereceğini tahmin ederek. Nasıl mı? Gelin birkaç hikaye anlatayım size.
Çocukluğunda şifreli mesajlar gönderenler olmuştur illa ki. Biliyorsunuz. Arkadaşlarınız arasında başkalarının anlamaması için sadece sizin anladığınız şifreli bir dil. Yazacağınızı alfabedeki her harfi bir sola veya bir sağa kaydırarak yazmak gibi. Aşık olduğunuz birine şifreli bir şekilde şunu yazıp (ŞFOI ŞFYIZÖSÜN) anlamasını beklemek gibi mesela.
Ama tabi bazen bu mesajlar bu kadar basit olmayabiliyor. Kimi zaman mesajlarınızı başkaları okuduğunda bir savaşı da kaybedebiliyorsunuz mesela.
2. dünya savaşında olduğu gibi.
Almanlar bu işi bayağı bir ileri taşımış ve bir daktiloya benzeyen bir makine ile tüm iletişimlerini şifrelemeye başlamışlardı. Genel olarak Enigma olarak bildiğimiz bu makinelerle cepheler arasında mesajlar şifreli bir şekilde alınıyor ve gönderiliyordu. Bu mesajları eline geçiren diğer ülkeler ise neye baktığını anlamıyordu bile.
Enigma Şifrelemesi ise biraz karmaşık olsa da temel olarak şöyle çalışıyordu.
Bir harf basit şifreleme yöntemi ile üç aşamalı bir şifrelemeye tabi tutuluyordu. Ancak Enigma’da şifrelemeyi yapan 3 tane çark vardı.
Ve Enigma makineleri bu çarkları her harften sonra sistematik olarak döndürüyordu. Orijinal mesajda iki kere geçen aynı harf tamamen iki ayrı harf olarak kodlanabiliyordu.
Her çarkta alfabedeki her harfe karşılık gelen 25 ayar bulunuyordu.
Yani sadece çarklar için 17.576 ayrı başlangıç olasılığı bulunuyordu.
O zaman için kırılması neredeyse imkansız bir şifreleme sisteminden bahsediyoruz.
Ve şifreyi çözmek için de bu çarkların nasıl ayarlandığını bilmeniz gerekiyordu.
Ancak Almanların birden fazla çark ayarı yanında birden fazla santrali de bulunuyordu. Bu işleri haliyle daha da zorlaştırıyordu.
Ama bir isim tüm bu karmaşaya meydan okuyacaktı.
Alan Turing.
Turing arkadaşları ile birlikte şifreleri çözmek için Banburismus adı verilen bir kriptoanalitik tekniği geliştirmişti.
Çünkü Almanların mesajlarında bazı metinler aynı ayarlarla kodlanıyordu. Temel olarak bu tekrar eden metinleri bulmak gerekiyordu. Fakat bu çok uzun zaman alan bir süreçti.
Kesişen her bir mesaj için alfabenin yatay olarak hizalandığı bir kağıtta delikler deliniyor, bir mesaj diğerinin üzerine yuerleştiriliyor ve bu sayede bu deliklerin ne sıklıkla örtüştüğü bulunuyordu.
Amaç ise farklı Enigma ayarları ile şifrelenen iki mesajın rasgele bir düzende eşleşmesi mümkündü.
Almanların ise mesela Dolphin adını verdikleri temel bir Enigma ayarı bulunuyordu.
Aynı Dolphin ayarı ile şifrelenen iki mesajın rasgele şekilde eşleşen harflere sahip olma olasılığı 1/17’ydi.
Farklı ayarlar söz konusu ise bu oran 1/26’ydı.
Enigma şifresini kırmak için işte kesişen iki mesajın hangi olasılıkla aynı veya farklı ayarlarla kodlandığını belirlemek için bu bilgiyi kullandılar.
Tabi kullandıkları başka bilgiler de vardı. Mesela Enigma mesajlarının %90’ında Almanca “ein” kelimesinin bulunduğunu biliyorlardı. Ya da hava durumu ile ilgili mesajların sık sık tekrar edildiğini.
Bu sayede Turing işte bu mesajların aynı ayarlarla şifrelenmesi olasılığının 50 kat daha fazla olduğunu keşfetti.
Bunun için “bombe” olarak bildiğimiz bir makine ile mesajları çözmek için bu çark ayarlarını otomatik olarak analiz edebiliyorlardı. Ama haliyle bu çok uzun bir süre alıyordu.
Olasılıkların daraltılması gerekiyordu.
İşte burada “Bayes Çıkarımı” olarak bilinen bir yaklaşımı benimsediler. Bayes Çıkarımı daha fazla kanıt veya bilgi elde edildikçe bir hipotezin olasılığını güncellemek için Bayes teoreminin kullanıldığı bir istatistiksel çıkarım yöntemidir.
Olasılıkları daraltarak bazı mesajların diğerlerinden daha olası olduğunu keşfettikten sonra Turing elle yapılması gereken analizlerin sayısını çok azaltarak süreci inanılmaz kısaltmış ve Enigma kodunu sonunda kırmayı başarmıştı.
Turing’in bu başarısı ile tahminlere göre ikinci dünya savaşı 2 ila 3 yıl daha erken sonlanmış ve milyonlarca insanın hayatı kurtulmuştur.
Bu Bayes çıkarımı bu arada sık sık kullanılmıştır savaş boyunca.
Yine 2. Dünya savaşında Almanlar denizlerde müttefiklerin sayısız gemisini batırıyor, müttefikler buna bir çözüm bulmak istiyordu. Özellikle bulunması çok zor alman denizaltıları bulmak hayati önem taşıyordu. Bunun için bir matematikçi olan B. O. Koopman yine Bayes çıkarımına başvurmuştu. Normal şartlarda da mesela polisin yüksek suç oranı olan yerleri incelemesi ya da sağlık uzmanlarının bir salgının başlama olasılığı olan yerlere odaklanması gibi Koopman da bu yaklaşımla bu denizaltıları bulmak istiyordu.
Batırılan gemilerden gelen sinyallerle ilk olarak 256 mil çapında bir alanı belirlemiş ancak bu alan hala çok büyüktü.
Askeri kaynaklardan gelen verilerle ve biraz da aslında mantık yürüterek alanı mümkün olduğunca daraltmak için bayağı uğraştı. Ve bu sayede müttefikler daha az gemi kaybetmeye başladı.
Bu şuna benziyor aslında. Evde mesela televizyonun kumandasını kaybettiniz. Aramaya haliyle en olası yerlerden başlarsınız. Elinizde orada olduğuna dair bir kanıt bulunmasa da televizyonun bulunduğu alandan başlarsınız. Fakat evde küçük bir çocuğunuz varsa ve onun da kumandayı alıp evin herhangi bir yerine bırakma olasılığı varsa bu durumda arama çapınızı bayağı bir genişletmeniz gerekebilir. Fakat her durumda başlangıç noktanız koltuk, koltuğun altı vs. olur.
Bulamadığınızda olasılıkları genişletir, çocuğunuzun ilk olarak bırakmış olabileceği yerleri haritanıza eklersiniz. Zihninizde evinizin kuşbakışı bir haritası belirir ve bir olasılık yoğunluğu da oluşur.
Burada bilinçsiz bir şekilde yaptığınız şey aslında Bayesci Arama Teorisini uygulamaktır.
İstatistiği ayrıca düşmanınızın mesela ne kadar tankı olduğunu hesaplamak için de kullanabilirsiniz.
Yine 2. Dünya savaşında müttefikler mesela casusluk ya da savaş esirlerini sorgulamak gibi geleneksel yöntemlerle almanların ne kadar tankı olduğunu öğrenmek istediler. Vardıkları sonuç şuydu. Almanlar ayda 1400 tank üretiyordu.
Ama bu sayı biraz garipti. Biraz fazlaydı.
Onun için ele geçirilen düşman tanklarını incelemeye karar verdiler. Özellikle seri numaralarına baktılar.
Matematik ve istatistik sayesinde de çok akıllı bir çözüm buldular.
Mesela 10 tank ele geçirmiş olsunlar, seri numaraları da 21 ila 85 arasında değişsin. Seri numaralarının da sıra ile gittiği düşünüldüğünde en basit mantıkla en az 85 tanktan bahsedebilirsiniz.
Ama bu 500 de olabilir 1000 de. O yüzden daraltmanız gerekir.
Bunun birçok yolu var ama çok basit bir formül var. Şunun gibi.
Maks=m+m/n-1
Burada m gözlemlenen maksimum seri numarası n ise yapılan gözlem sayısı. 10 tankta maksimum 85 gözlemlemiştik. Bu durumda 92,5 gibi bir sayı belirleyebiliriz. Yarım tank olmayacağına göre 92 tank diyebiliriz.
Müttefikler artık kaç tane tank ele geçirdiler bilmiyoruz ancak bu formülle hesapladıklarında Almanların ayda 256 tank ürettiği sonucuna varmışlardı.
Peki gerçek neydi?
Almanlar gerçekte ayda 255 tank üretiyorlardı.
Harika değil mi?
Buradan tabi elinizdeki önemli varlıklara basit bir sıralama ile seri numarası vermemek gerektiğini de öğreniyoruz.
Tabi istatistiği her şey için kullanabiliriz derken şundan da bahsediyoruz.
Mesela bazı araştırmacılar bir sonraki dünya savaşının ne zaman olabileceğini de hesaplamaya çalşıyor.
Malum büyük bir savaş olmayalı bayağı bir zaman oldu. Bazı araştırmacılar tarihte büyük savaşlar arasındaki barış dönemlerinin süresine bakarak bu sürelerin ortalama 100-140 yıl kadar sürebildiğini buldular.
Bu hesaplama ile biraz daha zamanımız var gibi görünüyor.
Ama tabi en güzeli insanlığın akıllanmış ve bu denli büyük savaşların hiçbir zaman çözüm olmadığını anlamış olması.
Yine de savaşlar ne kadar yıkıcı olsa da ve tüm trajedileri bir kenara bıraktığımızda bilimsel araştırmalar için de bir çalışma alanı sundu. Matematikçiler ve İstatistikçiler özellikle son dünya savaşında çok önemli bir rol oynadılar ve bugün bile tüm dünyada savunma stratejilerinin temelini oluşturuyorlar.
Bunun da nedeni aslında barış zamanında hiç karşılaşmadığımız sorunlarla karşılaşmamız ve bu sorunların acil bir şekilde çözülmesi gerekliliği.
Bununla birlikte Turing’in katkılarını da tekrar vurgulamak gerekiyor. İstatistikçilere Bayes çıkarımını sunmasının yanında bugün bile kullanılan şifre çözme ve şifreleme algoritmalarının temelini de oluşturmuştur.
Yine de artık teknoloji bu denli gelişmişken sıradışı sorunlara sıradışı çözümler bulabilmek için gerçek hayatta trajediler yaşanmasına gerek yok. Mevcut durumda istediğimiz durumu simüle edebilecek kapasitemiz var. Yakın zamanda bu kapasitemiz bir şehri, bir ülkeyi, tüm üretim, dağıtım vb. süreçlerini bile simüle edebilecek duruma geldiğinde özellikle sonu gelmeyen bir barış döneminin kapılarını açmış oluruz umarım.
Ve her zaman olduğu gibi.
Tekrar görüşene dek.
İyi ki varsınız.
Sevgiler.
Kaynaklar:
https://www.iwm.org.uk/history/how-alan-turing-cracked-the-enigma-code
https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/0161-110391891801